Dies und das

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Eines Abends hatte ich in meiner Tätigkeit als Student mal wieder ein ca. 1400 seitiges Chemie-lehrbuch auf dem Schoss. Keine Ahnung wie viele von euch wissen wie umständlich es ist, in so einem schweren Monster zu lesen. Man kann es nicht wirklich angenehm halten... Ich driftete ab und machte mir Gedanken über die Natur der Masse. Plötzlich kam ich zur einer physikalischen Erkenntnis (ja, ich weiss dass ich Chemie gelesen habe...) die mich hellauf begeisterte:

1 kg Federn muss leichter sein als 1 kg Blei!

Alle die mich mal nach dem Weg gefragt haben wissen, dass ich kein guter Schätzer bin. Ich dachte dass der Effekt wahrscheinlich nur im Rahmen von 0.0001 g bemerkbar sei, und somit nur schwer beweisbar ist. Schlussendlich nach ein paar Recherchen und Berechnungen komme ich zum Schluss dass 1 kg Federn ca. 24 g leichter sind als 1 kg Blei.

Ich erkläre im Folgenden wie ich vorgegangen bin und was meine Annahmen waren. Wichtig ist das Verständnis der verschiedenen Begriffe. Leider sind, wie in der Physik üblich, viele Bezeichnungen und Symbole für verschiedene Dinge gleich gewählt worden. Wenn dann noch der "Volksmund" drüber geht ist die Verwirrung perfekt. Deswegen möchte ich die wichtigsten Begriffe erklären, welche im Zusammenhang verwendet werden könnten:

Die Masse ist eine unabhängige Eigenschaft eines Körpers. Sie kann (unter anderem) im Vakuum mit einer Balkenwaage gemessen werden.
1 kg Federn haben die selbe Masse wie 1 kg Blei.

Die Gewichtskraft (FG), ist die Kraft welche entsteht wenn ein Körper mit einer Masse (m) eine Beschleunigung erfährt. Diese Beschleunigung (g) ist auf der Erde oft ca. 9.81 m/(s^2).
Die Gewichtskraft berechnet sich wie folgt: FG = m * g

Wie zu sehen ist, ist die Gewichtskraft nur von der Masse und der Beschleunigung abhängig. Somit haben zwei Körper gleicher Masse immer die gleiche Gewichtskraft, solange sie die gleiche Beschleunigung erfahren.
1 kg Federn haben die selbe Gewichtskraft wie 1 kg Blei, wenn beides gleich stark von der Erde beschleunigt wird, nämlich 9.81 N.
Leider wird die Gewichtskraft manchmal als Gewicht, und die Erdbeschleunigung als Schwere bezeichnet. Dies kommt zu Problemen weil diese Bezeichnungen auch weitere Bedeutungen haben können.

Das Gewicht, die Schwere und der Wägewert sind alles Synonyme für etwas, was ich wie folgt definieren würde: Die Normalkraft FN (Kraft rechtwinklig zum Angriffspunkt) welche ein Körper aufbringen muss, um einen zweiten Körper auf sich ruhen lassen zu können. Traditionell wird diese Kraft nicht wie üblich in Newton (N) angegeben. Stattdessen wird ihr Betrag durch 9.81 m/(s^2) dividiert, und als imaginäre Masse in kg dargestellt.

In der Physik wird leider eine Kraft sehr oft vergessen. Man kann in den dicksten Hochschulwälzern lesen, dort wird dann beschrieben welche seltsame Kräfte mit Mini-Effekt vernachlässigt werden und selbst dort gerät die Kraft die ich meine fast immer in Vergessenheit: Der Auftrieb! Ich persönliche finde das Schade, weil der Auftrieb meiner Meinung nach einen beachtenswerten Effekt leistet. Denn Effekt des Auftriebs auf das Gewicht könnt ihr gut im Wasser sehen: Dort ist es viel einfacher einen grossen Stein zu bewegen als in der Luft, weil der Auftrieb im Wasser grösser ist. Es macht keinen Unterschied ob ihr den Stein in den Armen haltet oder er auf dem Grund des Beckens liegt: Er hat immer den selben Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Substanz. Die Dichte von Luft ist garnicht mal so klein. Somit ist der Auftrieb den ein durchschnittlicher Mensch auf der Erde geniesst ca. 0,9 N. Es Verringert sein Gewicht zwar nur um ca. 0,1% aber das sind immerhin ca. 90 g. Das ist nicht wenig... 90 g kann man gut anfassen... Aber egal...

Die Auftriebskraft an der Luft berechnet sich wie folgt:
FA = V * Dichte(Luft) * g = V *11.812 kg^2/(m^2*s^2)

Wobei V das Volumen des Körpers oder das der verdrängten Luft ist. Die beiden Volumen sind gleich gross.

Die Dichte und die Erdbeschleunigung bleiben konstant und können somit durch einen numerischen Wert ausgetauscht werden.

Eine gute Näherung des Gewichtes ist: Gewicht = FG - FA. Das Gewicht ist also wie zu sehen ist, von der Masse und vom Volumen des Körpers abhängig. Federn haben eine viel kleinere Dichte als Blei. Somit nimmt 1 kg Federn ein viel grösseres Volumen ein als 1 kg Blei und erfährt deswegen einen viel grösseren Auftrieb. Das alles sauber auszurechnen ist aber sehr schwer, weil sich die Dichte von Federn nicht eindeutig bestimmen lässt. Federn bestehen vor allem aus Beta-Keratin. Alpha-Keratin hat eine Dichte von 1.283 - 1.335 g/mL, für die Beta Version konnte ich leider keine Angaben finden. Diesen Wert darf man aber auf keinen Fall verwenden: Federn und Beta-Keratin verhalten sich wie Styropor und Polystyren. Auch wenn beides die selbe Zusammensetzung haben mag, die eine Form hat ganz viele kleine Gaseinschlüsse und hat somit eine viel geringere Dichte als die Reinform. Dies habe ich probiert qualitativ zu beweisen, indem ich eine Feder unter Wasser gedrückt habe. Sie taucht nach dem Loslassen sehr schnell wieder auf. Die Dichte der Feder muss also kleiner sein als die Dichte von Wasser, welche 1 g/mL beträgt. Um eine 100 % richtige Aussage machen zu können, darf man als Dichte der Federn < 1 g/mL in die Berechnungen einsetzten und erhält als Ergebnis, dass 1 kg Federn mindestens 1 g leichter sind als 1 kg Blei. Dies wäre ein Unterschied von mindestens 0,1 %.

Dichte < 1 g/mL

Nach langem Suchen habe ich einen Wert für die Dichte von Federn auf einer Australischen Lehrer Webseite gefunden. Er beträgt 0.05 g/mL. Je nachdem von was für einem Vogel die Federn stammen etc wird die Dichte wahrscheinlich variiren, aber wenn man diesen Wert weiterverwendet, kann man einen guten Eindruck von der ungefähren Grössenordnung des Effektes bekommen.

Der Effekt wurde folgendermassen berechnet:

(Die Dichte von Luft wurde als 1,2041 g/L angenommen)

Somit sind 1 kg Federn ca. 24 g leichter als 1 kg Blei. Das ist ein Unterschied von ca. 2,4 %

Der Trick in den USA

Bei meiner Suche nach der Dichte der Feder bin ich auf etwas anderes witziges gestossen. In Amerika kennt man die Fragestellung ein wenig anders:
Was ist schwerer 1 pound (amerikanisches Gewichtsmass) Federn oder 1 pound Gold?

Traditionell verwendet man in Amerika das "avoirdupois weight" System um zu wägen. Sobald man aber ein Edelmetall, Schwarzpulver oder Edelsteine wägen muss, wechselt man traditionell in das "Troy Weight" System. Das verwirrende ist, dass pound immer noch pound und ounce immer noch ounce heisst, aber diese Einheiten unterschiedlich schwer sind. Es wird noch komplizierter weil die Multiplikationsfaktoren zur nächsten Einheiten in beiden Systemen verschieden sind.

Das klingt jetzt alles sehr schwer, aber ich möchte ein Beispiel machen:

Die tiefste Einheit ist bei beiden Gleich gross, nämlich 1 grain.

Beim Troy-Weight sind 480 grains eine ounce, wogegen aber beim Avoirdupois-Weight 437.5 grains eine ounce ergeben. Daher ist die Masse von einer ounce Federn tiefer als die Masse von einer ounce Gold:
ca. 28,3 g Federn zu ca. 31,1 g Gold was ein Unterschied um ca. 9 % ist.

Vergleicht man wie oben im Artikel besprochen den Gewichtsunterschied erhält man folgendes:
ca. 27,6 g Federn zu 31,1 g Gold, ein Unterschied von ca. 11 %

Beim Schritt zur nächst höheren Einheit ist der Umrechnungsfaktor wieder anders:
Beim Troy-Weight sind 12 ounces ein pound. Im Avoirdupois-Weight sind es 16 ounces welche einem pound entsprechen.

Somit ist die Masse von einem pound Federn grösser als die von einem pound Gold.
ca. 453,6 g Federn zu ca. 373,2 g Blei was ein Unterschied um ca. 18 % ist, aber diesmal auf die andere Seite!

Vergleicht man das Gewicht an erhält man folgendes:
ca. 442,7 g Federn zu 373,2 g Gold, ein Unterschied von ca. 16 %

In Schottland ist die Variation an verschiedenen Systemen je nach zu wägendem Gut sogar noch grösser...